教学目标

1．复习、总结一元二次不等式的解法．

2．准确、熟练地解一元二次不等式，并能逆向应用．

3．通过学习，培养学生数形结合分析问题的能力，逆向解题能力．

4．通过等与不等的对立统一关系，对学生进行辩证唯物主义教育．

教学重点与难点

一元二次不等式的解法．

教学过程设计

一、复习提问

（问题通过投影仪给出，学生回答．）

1．什么是不等式？

2．什么是同解不等式？

3．什么是同解变形？

4．一元一次不等式（组）的解法是什么？

（学生回答．略．）

二、引入

师：初中学习二次函数时，曾解决过这样的问题：函数y=x²-3x-4，当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y=0？当时我们是怎样做的？

生：当时我们是通过图象观察的．

（1）作出函数y=x²-3x-4的图象．

（2）找到它与x轴交点（-1，0），（4，0）．

（3）得到结论：当-1＜x＜4时，y＜0；当x＜-1，或x＞4时，y＞0；当x=-1，或x=4时，y=0．

师：对．这个问题实际就是解方程x²-3x-4=0找到两个根-1和4，及解不等式x²-3x-4＞0和x²-3x-4＜0．

我们知道二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）有两类基本图象，请看投影仪．（教师给出图，学生填入下面的代数关系表达式．）

（其中x₁，x₂为一元二次方程ax²+bx+c=0的两根．）

师：任何一个一元二次不等式，最后都能化为ax²+bx+c＞0或ax²+bx+c＜0（a≠0）的形式，实际上就是二次函数中y＞0或y＜0．我们可以观察出一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象的关系．请同学们观察上表，总结出当a＞0时ax²+bx+c＞0及a＞0时ax²+bx+c＜0的解的情况．

（学生总结后，教师带着学生看课本P23．由投影仪绘出图表）（见附页）．

师：由此归纳出解一元二次不等式步骤如下：（由投影仪给出）

（1）将二次项系数化为“+”号．

（2）计算Δ=b²-4ac．若存在实根，则求出根．

（3）写出解集．（结合条件想象图象的形状）

三、例题与练习

例1  解不等式-x²+5x＞6．

解  （1）原不等式变形为：x²-5x+6＜0．

（2）计算Δ：

因为Δ=25-4×6=1＞0，所以x²-5x+6=0有两个不等的实根，解得x₁=2，x₂=3．

（3）原不等式解集为：{x|2＜x＜3}．

（此例可由学生根据解一元二次不等式步骤自己板书，教师纠正做题格式．）

师：上例中当我们把不等式-x²+5x＞6变形时，做的是同解变形，所得的不等式x²-5x-6＜0与原不等式是同解不等式．所以求出的解就是原不等式的解集．

b的值．

（分析：教师引导学生联想图象、解的形式可得出a＜0，且方程

求得a，b．）

练习  （学生板演，教师与学生一起订正．）

解不等式：（1）2x²-x-1≥1；（2）-3x²≤2x+1．

解  （1）因为Δ=（-1）²-4×2×（-1）=9＞0，所以2x²-x-

x≥1}．

（2）整理不等式，化为3x2+2x+1≥0．因为

Δ=2²-4×3×1=-8＜0，

所以方程3x²+2x+1=0无实根．又a＞0，因此原不等式解集是{x|x∈R}．

例3  解关于x的不等式x²-5ax+6a2＞0．

（分析：此不等式系数中含有字母a，方程x²-5ax+6a²=0的解与a相关，所以要注意讨论a的取值对不等式解集的影响．）

解  因为Δ=（-5a）²-4×6a²=a²≥0，所以x²-5ax+6a²=0有实根．

当a=0时，不等式x²-5ax+6a²＞0的解集为{x|x＜0或x＞0}；

所以，当a＞0时，方程有实根x₁=3a，x₂=2a，且x₁＞x₂，不等式解集为{x|x＞3a或x＜2a}；

当a＜0时，方程有实根x₁=2a，x₂=3a，且x₁＞x₂，不等式解集为{x|x＜3a或x＞2a}．

例4  已知二次不等式ax²+（a-1）x+a-1＜0对所有的实数x都成立，求a的取值范围．

师：“＜0”的二次不等式若对一切实数x都成立，y=ax²+（a-1）x+a-1的图象什么样？

学：必然开口向下，且与x轴无交点．

师：反映在代数数量关系上是什么？

师：请动手解不等式②．

学：②整理为3a²-2a-1＜0，解之得

（写在课堂练习本上．）

（题后思考：若不给“二次不等式”中“二次”这个条件，结论是什么？）

四、小结

师：1．一元二次不等式的解与一元二次方程的解及其相应的二次函数图象相对于x轴的位置密切相关．解不等式时要注意解题格式，头脑中要想象图象（或画出草图），要注意必要的讨论．

2．不等式的变形要保证是同解变形，对a＜0的一元二次不等式化为a＞0的一元二次不等式求解，就可以得到原不等式的解．

3．一元二次不等式的解法是今后学习其它不等式解法的基础，要求大家必须熟练掌握解法，正确运算结果．

五、作业

1．课本P26练习一第4题及P26～27习题二．

2．补充题：

（1）解不等式ax²-2ax+a+3≤0．

（2）若关于x的不等式（k-1）x²-x+k＜0对于一切实数都成立，求k的取值范围．

（解（1）因为Δ=（-2a）²-4×a×（a+3）=-12a，所以当a＞0时，Δ＜0，方程ax²-2ax+a+3=0无解．原不等式无解．

此题若a=0，原不等式不成立，即不等式无解．

解（2）据已知条件知：若k-1=0，则不等式不可能对一切实数x都成立．故k≠1，则有

课堂教学设计说明

《教学大纲》在不等式解法上提出的教学要求是：在复习、总结一元一次不等式、一元一次不等式组和一元二次不等式解法的基础上，使学生掌握一些其它不等式的解法．所以这部分内容是解各种各样不等式（组）的基础，虽然已在初中接触过，但在教学时不能一带而过，应要求学生达到正确、熟练的程度．基于这样一种认识，所以在安排课时时，安排了两课时．第一课时复习、总结一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法；讲同解不等式与同解变形．这个教案为第二课时，专门复习、总结一元二次不等式的解法．对于学生能力较强的重点校、重点班的教学，可以考虑把两课时合并为一课时，但仍要以一元二次不等式解法为重点，为后面学习新的不等式解法打下良好的基础．

2．《数学教育论》的作者斯托利亚认为：“数学教学就是数学活动的教学”．学生讨论和学生发言，就是使学生参加到数学教学的活动中去，使学生思维活跃，对自己充满信心．尤其像这样的复习、总结课，应在教学中充分安排学生观察、回忆、思考、总结出所能发现的数学规律及算法．教师在引导后有必要对学生的发言进行概括，这些讲解时间不长，但是要居高临下、综观全局、条理清楚，引导学生发现一元二次不等式、一元二次方程及二次函数三者之间的内在关系，培养学生对等与不等中的辩证唯物主义观点的认识．

3．高中学生的兴趣及兴奋点往往集中在新概念教学、难题辅导等方面，而忽略运算的算理及规范的书写．但在真正综合应用时，又恰恰是由于基本功不过关，而影响了正确的解法．所以在本节教学中，在学生已经掌握一元二次不等式解法的同时，特别训练了学生的规范解题过程，尤其在对含有字母系数进行讨论时，更要求学生重视书写讨论的过程，养成良好的学习习惯．

4．数形结合的思想方法是中学数学重要的思想方法之一；逆向应用能力更是中学生应具备的一种基本能力．运用数形结合、培养逆向应用能力也正是本教案所着力实现的一个方面．

5．现代化教学手段的运用，可以大大提高课堂效率．教案中所提到的投影仪的使用，只是最基本的一种．有条件的学校若能应用计算机辅助教学，还可加大课堂容量．补充一定的练习，达到事半功倍的效果．

附页